Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=﹣1．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）點N在線段OA上，點M在線段OB上，且OM=2ON，過點N作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P．

①當ON為何值時，四邊形OMPN為矩形；

②△AOQ能否為等腰三角形？若能，求出此時ON的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）①，②或或1﹣.

【解析】試題分析：（1）可設頂點式，根據待定系數法可求拋物線對應的函數關系式；

（2）①當四邊形OMPN為矩形時，滿足條件OM=PN，據此列一元二次方程求解；

②△AOQ為等腰三角形時，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計算．

試題解析：解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k．∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，∴，解得： ，∴拋物線的解析式為：y=﹣（x+1）2+4；

（2）①設ON=t（0＜t＜1）．則OM=2t，PN=﹣（t+1）2+4．∵四邊形OMPN為矩形，∴OM=PN，即2t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+4t﹣3=0，解得t=﹣2，由于t=﹣﹣2＜0，故舍去，∴當ON=﹣2時，四邊形OMPN為矩形；

②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．

若△AOQ為等腰三角形，有三種情況：

（I）若OQ=AQ，如答圖1所示：

則N為OA中點，ON=OA=，∴ON=；

（II）若OQ=OA，如答圖2所示：

設AN=x，則QD=ADtanA=3x，ON=OA﹣AN=1﹣x．在Rt△QON中，由勾股定理得：ON2+QN2=OQ2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，ON=1﹣x=，∴ON=；

（III）若OA=AQ，如答圖3所示：

設AN=x，則QD=ANtanA=3x．在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN2+AN2=AQ2，即x2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴ON=1﹣x=1﹣，∴ON=1﹣．

綜上所述：當ON為、、（1﹣）時，△AOQ為等腰三角形．