Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．

（1）求矩形ABCD的周長；

（2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．

①求DE的長；

②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．

（3）M是AD上的動點，在DC 上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．

Answer 1

【答案】（1）周長=36；

（2）①DE=5，

②PB=6或4或．

（3）12．

【解析】

試題分析：（1）因為矩形的兩組對邊相等，所以周長等于鄰邊之和的2倍；

（2）①四邊形ABCD是矩形，由折疊對稱的特點和勾股定理即可求出ED的長；

②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三種情形分別討論求出滿足題意的PB的值即可；

（3）由題意可知當點N與C重合時，CT取最大值是8，當點M與A重合時，CT取最小值為4，進而求出線段CT長度的最大值與最小值之和．

解：（1）周長=2×（10+8）=36；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，

由折疊對稱性：AF=AD=10，FE=DE．

在Rt△ABF中，BF=6，

∴FC=4，

在Rt△ECF中，42+（8﹣DE）2=EF2，

解得DE=5，

②分三種情形討論：

若AP=AF，

∵AB⊥PF，

∴PB=BF=6，

若PF=AF，則PB+6=10，

解得PB=4，

若AP=PF，在Rt△APB中，AP2=PB2+AB2，解得PB=，

綜合得PB=6或4或．

（3）當點N與C重合時，CT取最大值是8，

當點M與A重合時，CT取最小值為4，

所以線段CT長度的最大值與最小值之和為：12．