Question

【題目】已知，M是等邊△ABC邊BC上的點，如圖，連接AM，過點M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交于點H，過H作HD⊥BC于點D

（1）求證：MA=MH

（2）猜想寫出CB、CM、CD之間的數量關系式，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CB=CM+2CD.

【解析】（1）過M點作MN∥AC交AB于N，然后根據全等三角形的判定“ASA”證明△AMN≌△MHC，再根據全等三角形的性質可得MA=MH；

（2）過M點作MG⊥AB于G，再根據全等三角形的判定“AAS”證明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因為BM=2CD可得BC=MC+2CD．

（1）如圖，過M點作MN∥AC交AB于N，

則BM=BN，∠ANM=120°，

∵AB=BC，

∴AN=MC，

∵CH是∠ACD的平分線，

∴∠ACH=60°=∠HCD，

∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，

又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，

∴∠HMC+∠AMN=60°

又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，

∴∠HMC=∠MAN，

在△ANM和△MCH中，

，

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

（2）CB=CM+2CD；

證明：如圖，過M作MG⊥AB于G，

∵HD⊥BC，

∴∠HDC=∠MGB=90°，

∵△AMN≌△MHC，

∴MN=HC，

∵MN=MB，

∴HC=BM，

在△BMG和△CHD中，

，

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∵△BMN為等邊三角形，

∴BM=2BG，

∴BM=2CD，

∴BC=MC+2CD．