Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M為正方形ABCD的邊CD上的動點(與點C，D不重合)，連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F.設CM＝x，△DFM的面積為y，則y與x之間的函數關系式為________________．

Answer 1

【答案】y=-

【解析】

在BC上截取CH=CM，連接MH，則△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，證出∠BHM=∠MDF，∠1=∠2，由ASA證明△BHM≌△MDF，再根據三角形面積公式求解即可．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=BC，∠C=∠CDA=90°=∠ADE，

∵DF平分∠ADE，

∴∠ADF=∠ADE=45°，

∴∠MDF=90°+45°=135°．

在BC上截取CH=CM，連接MH，如圖，

則△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，∴∠CHM=∠CMH=45°，

∴∠BHM=135°，

∴∠1+∠HMB=45°，∠BHM=∠MDF，

∵FM⊥BM，

∴∠FMB=90°，

∴∠2+∠BMH=45°，

∴∠1=∠2．

在△BHM與△MDF中，

，

∴△BHM≌△MDF（ASA），

∴BH=MD=2-x，

∴y與x之間的函數關系式為y=x（2-x）=-x2+x．

故答案為：y=-x2+x．