Question

【題目】在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小華同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫(huà)一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．

（1）△ABC的面積為：　 　．

（2）若△DEF三邊的長(zhǎng)分別為、、，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出相應(yīng)的△DEF，并利用構(gòu)圖法求出它的面積為　 　．

（3）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（4）如圖4，一個(gè)六邊形的花壇被分割成7個(gè)部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13m2、25m2、36m2，則六邊形花壇ABCDEF的面積是　 　m2．

Answer 1

【答案】（1）3.5；（2）3； （3）EP=FQ，證明見(jiàn)解析；（4）110m．

【解析】分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積，計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積，計(jì)算即可得解；（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角邊”證明△ABG和△EAP全等，同理可證△ACG和△FAQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EP=AG=FQ；（4）過(guò)R作RH⊥PQ于H，設(shè)PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解無(wú)理方程求出h，從而求出△PQR的面積，再根據(jù)六邊形被分成的四個(gè)三角形的面積相等，總面積等于各部分的面積之和列式計(jì)算即可得解．

本題解析：

(1)△ABC的面積=3×3×2×1×3×1×2×3=911.53=95.5=3.5；

(2)△DEF如圖2所示:

面積=2×4×1×2×2×2×1×4=8122=85=3；

(3) EP=FQ，

證明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE,∠BAE=90，

∴∠PAE+∠BAG=180°90°=90°,又∵∠AEP+∠PAE=90°，∴∠BAG=∠AEP，

在△ABG和△EAP中，

，∴△ABG≌△EAP(AAS)，同理可證,△ACG≌△FAQ，∴EP=AG=FQ；

(4)如圖4，過(guò)R作RH⊥PQ于H，設(shè)RH=h，

在Rt△PRH中,PH=，

在Rt△RQH中,QH=,

∴PQ==6，

，

兩邊平方得,25h=3612+13h，

整理得, =2，

兩邊平方得,13h=4，

解得h=3，

∴×6×3=9，

∴六邊形花壇ABCDEF的面積=25+13+36+4×9=74+36=110m.