Question

【題目】已知△ABC中，點D是BC邊上一點，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點D，與AD、AC分別交于點E、F．

（1）如圖①，若∠AEF=52°，求∠C的度數．

（2）如圖②，若EF經過點O，且∠AEF=35°，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）52°；（2）55°.

【解析】分析：（1）根據切線的性質得：BC⊥AD，由圓周角定理得：∠AFD=90°，由同角的余角相等可得：∠C=∠ADF，由同弧所對的圓周角相等可得結論；

（2）同理得：∠ADB=90°，∠AEF+∠DEO=90°，求得∠DEO=55°，根據直徑和等腰三角形的性質和三角形內角和可得結論．

詳解：（1）如圖①，連接DF，

∵BC是⊙O的切線，∴BC⊥AD，∴∠ADC=90°，

∴∠FAD+∠C=90°．

∵AD是⊙O的直徑，∴∠AFD=90°，

∴∠FAD+∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF，

∵∠AEF=∠ADF，∴∠C=∠AEF=52°；

（2）如圖②，連接ED．

∵BC與⊙O相切于點D，∴BC⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ODE+∠EDB=90°．

∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED=90°，

∴∠AEF+∠DEO=90°．

∵∠AEF=35°，∴∠DEO=55°，

∵AD是⊙O的直徑，EF經過點O，∴EO=OD，∴∠ODE=∠OED=55°，

∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴∠B+∠EDB=90°，∴∠B=∠ODE=55°．