Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，過⊙T外一點P引它的兩條切線，切點分別為M，N，若，則稱P為⊙T的環繞點．

(1)當⊙O半徑為1時，

①在中，⊙O的環繞點是___________;

②直線y=2x+b與x軸交于點A，y軸交于點B，若線段AB上存在⊙O的環繞點，求b的取值范圍；

（2）⊙T的半徑為1，圓心為（0，t），以為圓心，為半徑的所有圓構成圖形H，若在圖形H上存在⊙T的環繞點，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①.②b的取值范圍為或.（2）

【解析】

（1）①根據環繞點的定義及作圖找到即可判斷；

②當點B在y軸正半軸上時，根據環繞點的定義考慮以下兩種特殊情況：線段AB與半徑為2的⊙O相切時，與當點B經過半徑為1的⊙O時，分別求出此時的OB的長，即可得到可得b的取值范圍，再由點B在y軸負半軸上時同理可得b的取值；

（3）根據題意作出圖形，求出OS與x軸正半軸的夾角為30°，得∠BOC=60°，圖形H為射線OB與射線OC圍成的一個扇形區域（不包括點O，半徑可無窮大），分當t≥0與t＜0時，根據環繞點的定義進行求解.

（1）①如圖，

∵P1在圓上，故不是環繞點，

P2引圓兩條切線的夾角為90°，滿足，故為⊙O的環繞點

P3（0,2），∵P3O=2OM，∠P3MO=90°，∴∠MOP3=30°，

同理：∠NOP3=30°，∴，故為⊙O的環繞點

故填：；

②半徑為1的⊙O的所有環繞點在以O為圓心，半徑分別為1和2的兩個圓之間（如下圖陰影部分所示，含大圓，不含小圓）.

ⅰ)當點B在y軸正半軸上時，如圖1，圖2所示.

考慮以下兩種特殊情況：線段AB與半徑為2的⊙O相切時，；

當點B經過半徑為1的⊙O時，OB=1.

因為線段AB上存在⊙O的環繞點，所以可得b的取值范圍為 ；

②當點B在y軸負半軸上時，如圖3，圖4所示.

同理可得b的取值范圍為 .

綜上，b的取值范圍為或.

（3）點記為S,設OS與x軸正半軸的夾角為a

∵tana=

∴a=30°，

如圖，圓S與x軸相切，過O點作⊙S的切線OC，

∵OC、OB都是⊙S的切線

∴∠BOC=2∠SOB=60°，

當m取遍所有整數時 ，就形成圖形H，

圖形H為射線OB與射線OC圍成的一個扇形區域（不包括點O，半徑可無窮大）

當t≥0時，過T作OC的垂線，垂足為M，當TM＞2時，圖形H不存在環繞點，OT=2TM，故t≤4，

當t＜0時，圖形H上的點到T的距離都大于OT,當OT≥2時，圖形H不存在⊙T環繞點，因此t＞-2，

綜上：.