Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連結AC交⊙O于點F．
（1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？
（2）若∠BAC=70°，求弧BD、弧DF和弧AF的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB=AC．

理由是：連接AD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

又∵DC=BD，

∴AB=AC

（2）解：連接OD、OF．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，

∴∠ABC=∠C= = =55°，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD=55°，

∴∠BOD=180°﹣∠B﹣∠ODB=180°﹣55°﹣55°=70°，

∴ 的度數是70°；

同理，∠AOF=40°，

則∠DOF=180°﹣∠AOF﹣∠BOD=180°﹣40°﹣70°=70°．

則 的度數是70°， 的度數是40°．

【解析】（1）連接AD，根據圓周角定理可以證得AD垂直且平分BC，然后根據垂直平分線的性質證得AB=AC；（2）連接OD、OF，利用等腰三角形的性質：等邊對等角求得圓心角∠BOD、∠DOF、∠AOF的度數，根據弧的度數等于所對圓心角的度數即可求解．
【考點精析】通過靈活運用圓心角、弧、弦的關系和圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可以解答此題．