Question

【題目】如圖1，矩形鐵片ABCD的長為2a，寬為a； 為了要讓鐵片能穿過直徑為 的圓孔，需對鐵片進行處理（規定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔）；
（1）如圖2，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，若將矩形鐵片的四個角去掉，只余下四邊形MNPQ， ①則此時鐵片是什么形狀；
②給出證明，并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔；

（2）如圖3，過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F（不與端點重合），沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片；
①當BE=DF= 時，判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔，并說明理由；
②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔，請直接寫出線段BE的長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）①菱形，

②如圖，過點M作MG⊥NP于點G，

∵M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，

∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四邊形MNPQ是菱形，

∵ ，

MN= ，

∴MG= ，

∴此時鐵片能穿過圓孔；

（2）①如圖，過點A作AH⊥EF于點H，過點E作EK⊥AD于點K，

顯然AB= ，

故沿著與AB垂直的方向無法穿過圓孔，

過點A作EF的平行線RS，故只需計算直線RS與EF之間的距離即可，

∵BE=AK= ，EK=AB=a，AF= ，

∴KF= ，EF= ，

∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，

∴△AHF∽△EKF，

∴ ，可得AH= ，

∴該直角梯形鐵片不能穿過圓孔；

② 或 ．

【解析】（1）利用四條邊相等的四邊形為矩形來判定四邊形為菱形，然后利用面積相等來求得菱形一邊的高，與已知數據比較后判斷是否能通過．（2）利用兩三角形相似得到比例線段，進而求出點A到EF的距離，然后與已知線段比較，從而判定能否通過．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與圓的三種位置關系的相關知識，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．