Question

【題目】如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，頂點A的縱坐標為1，點B（4，0）在此拋物線上．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線對稱軸與x軸交點為C，點D（x，y）為拋物線上一動點，過點D作直線y=2的垂線，垂足為E．
①用含y的代數式表示CD2 ， 并猜想CD2與DE2之間的數量關系，請給出證明；
②在此拋物線上是否存在點D，使∠EDC=120°？如果存在，請直接寫出D點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意，設拋物線的解析式為：y=a（x﹣2）2+1，代入B（4，0），得：

a（4﹣2）2+1=0，解得：a=﹣

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x﹣2）2+1

（2）

解：

①猜想：CD2=DE2；

證明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：

CD2=（x﹣2）2+y2，DE2=（y﹣2）2；

由（1）知：（x﹣2）2=﹣4（y﹣1）=﹣4y+4，代入CD2中，得：

CD2=y2﹣4y+4=（y﹣2）2=DE2．

②由于∠EDC=120°＞90°，所以點D必在x軸上方，且拋物線對稱軸左右兩側各有一個，以左側為例：

延長ED交x軸于F，則EF⊥x軸；

在Rt△CDF中，∠FDC=180°﹣120°=60°，∠DCF=30°，則：

CD=2DF、CF= DF；

設DF=m，則：CF= m、CD=DE=2m；

∵EF=ED+DF=2m+m=2，

∴m= ，DF=m= ，CF= m= ，OF=OC﹣CF=2﹣ ，

∴D（2﹣ ， ）；

同理，拋物線對稱軸右側有：D（2+ ， ）；

綜上，存在符合條件的D點，且坐標為（2﹣ ， ）或（2+ ， ）．

【解析】（1）已知拋物線的頂點坐標，可以將拋物線的解析式設為頂點式，再代入B點的坐標求解即可．（2）①由坐標系兩點間的距離公式不難得到CD2和DE2的表達式，再將（1）的拋物線解析式代入CD2的表達式中，用y替換掉x后，比較兩者的大小關系即可；②∠EDC是鈍角，那么點D一定在x軸的上方，且拋物線對稱軸的左右兩側各一個（它們關于拋物線對稱軸對稱），延長ED交x軸于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF= DF，設出DF的長后，可以表示出CD、DE的長，由EF=ED+DF=2即可得出DF的長，從而求出點D的坐標．