Question

【題目】如圖1，和都是等腰直角三角形，，在線段上，連接，的延長線交于．

（1）猜想線段、的關系；（不必證明）

（2）當點為內部一點時，使點和點分別在的兩側，其它條件不變．請你在圖2中補全圖形，則（1）中結論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE⊥AD；（2）（1）中結論仍然成立．

【解析】

（1）證明△BCE≌△ACD，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）根據題意補全圖形，然后證明△BCE≌△ACD，根據全等三角形的性質即可得.

（1）BE=AD，BE⊥AD，理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴BC=AC，EC=DC，

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，

∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠CBE+∠ADC=90°，

∴∠BFD=90°，

∴BE⊥AD；

（2）如圖所示，（1）中結論仍然成立，證明如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

∴BC=AC，EC=DC，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠BCE=∠ACD.

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BE⊥AD.