Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A、B坐標為(6，0)、(0，6)，P為線段AB上的一點

(1) 如圖1，若S△AOP＝12，求P的坐標

(2) 如圖2，若P為AB的中點，點M、N分別是OA、OB邊上的動點，點M從頂點A、點N從頂點O同時出發，且它們的速度都為1 cm/s，則在M、N運動的過程中，線段PM、PN之間有何關系？并證明

(3) 如圖3，若P為線段AB上異于A、B的任意一點，過B點作BD⊥OP，交OP、OA分別與F、D兩點，E為OA上一點，且∠PEA＝∠BDO，試判斷線段OD與AE的數量關系，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）P(2，4)；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由見解析；（3）OD＝AE，理由見解析

【解析】試題分析：（1）如圖1中，作PH⊥OA于H．線求出直線AB的解析式，利用面積構建方程求出PH即可解決問題；

（2）結論：PM=PN，PM⊥PN．連接OP．只要證明△PON≌△PAM即可解決問題；

（3）結論：OD=AE．如圖3中，作AG⊥x軸交OP的延長線于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再證明△PAE≌△PAG即可解決問題；

試題解析：解：（1）如圖1中，作PH⊥OA于H．

∵A（6，0），B（0，6），∴直線AB的解析式為y=﹣x+6．∵ OAPH=12，∴PH=4，當y=4時，4=﹣x+6，∴x=2，∴P（2，4）．

（2）結論：PM=PN，PM⊥PN．證明如下：

如圖2中，連接OP．

∵OB=OA，∠AOB=90°，PB=PA，∴OP=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠A=45°，∴∠OPA=90°．

∵AM=ON，OP=OP，∴△PON≌△PAM，∴PN=PM，∠OPN=∠APM，∴∠NPM=∠OPA=90°，

∴PM⊥PN，PM=PN．

（3）結論：OD=AE．理由如下：

如圖3中，作AG⊥x軸交OP的延長線于G．

∵BD⊥OP，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO，∵OB=OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD=AG，∠BDO=∠G．∵∠BDO=∠PEA，∴∠G=∠AEP．∵∠PAE=∠PAG=45°，PA=PA，∴△PAE≌△PAG，∴AE=AG，∴OD=AE．