Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E在AD邊上運動，且不與點A和點D重合，連結CE，過點C作CF⊥CE交AB的延長線于點F，EF交BC于點G．

（1）求證：△CDE≌△CBF；

（2）當DE=時，求CG的長；

（3）連結AG，在點E運動過程中，四邊形CEAG能否為平行四邊形？若能，求出此時DE的長；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不能.

【解析】

試題分析：（1）先判斷出∠CBF=90°，進而判斷出∠1=∠3，即可得出結論；

（2）先求出AF，AE，再判斷出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出結論；

（3）假設是平行四邊形，先判斷出DE=BG，進而判斷出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出結論．

試題解析：（1）如圖，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，

∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，

∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，

在△CDE和△CBF中，

∴△CDE≌△CBF，

（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴△GBF∽△EAF，∴，

由（1）知，△CDE≌△CBF，

∴BF=DE=，

∵正方形的邊長為1，∴AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，

∴，，∴BG=，∴CG=BC﹣BG=；

（3）不能，

理由：若四邊形CEAG是平行四邊形，則必須滿足AE∥CG，AE=CG，

∴AD﹣AE=BC﹣CG，

∴DE=BG，

由（1）知，△CDE≌△ECF，

∴DE=BF，CE=CF，

∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，

∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，

∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，

此時點F與點B重合，點D與點E重合，與題目條件不符，

∴點E在運動過程中，四邊形CEAG不能是平行四邊形．