Question

【題目】如圖，拋物線與兩軸分別交于A、B、C三點，已知點A（一3，O），B(1，0)．點P在第二象限內的拋物線上運動，作PD上軸子點D，交直線AC于點E．

(1)

(2)過點P作PF⊥AC于點F．求當△PEF的周長取最大值時點P的坐標．

(3)連接AP，并以AP為邊作等腰直角△APQ，當頂點Q恰好落在拋物線的對稱軸上時，求對應的P點坐標.

Answer 1

【答案】(1) -2; 3 ;(2)( , )(3) ,

【解析】試題分析：（1）將A、B兩點坐標代入解析式中即可求出b、c的值；

（2）通過點P、E的坐標可求出PE＝，由題可知，△PEF為等腰直角三角形，當PE最大時，此三角形的周長最大，求出令PE最大的x值，即可求出P點的坐標；

（3）對以P、Q、A三個頂點的角分別為直角時所形成的等腰直角三角形進行分類討論即可.

解：（1）∵A（一3，O），B(1，0)在拋物線的圖象上，

∴

解得

故答案為：-2，3 ;

（2）∵C（0，3），A（－3，0）

∴AO=CO

∴∠CAO=45°

∵PD上軸于點D

∴∠ADE=90°

∴∠AED=45°

∵PF⊥AC于點F

且∠PEF=∠AED=45°

∴△PEF為等腰直角三角形

∴當PE最大時，此三角形的周長最大，

由C（0，3），A（－3，0）可知直線AC的解析式為

設P（x， ），則E點坐標為（x，x+3）

∴PE＝（-3<x<0）

∵當時，PE最大，即此時△PEF的周長取最大值

∴P點坐標為(,)

（3）有三種情況：

①當∠APQ=90°且PA=PQ時，P點坐標為

②當∠PAQ=90°且AP=AQ時，P點坐標為

③當∠AQP=90°且PQ=AQ時，P點坐標為

故P點坐標為 ,