Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線與軸的另一個交點為A。過點P（1，m）作直線PM⊥軸于點M，交拋物線于點B，記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（點B、點C不重合），連接CB，CP。

⑴當時，求點A的坐標及BC的長；

⑵當時，連接CA，當CA⊥CP時，求的值；

⑶過點P作PE⊥PC，且PE＝PC，問是否存在m，使得點E恰好落在坐標軸上，若存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】⑴A（5，0） BC＝3;⑵⑶

【解析】試題分析：（1）把m=，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的解即為和x軸交點的橫坐標，再求出拋物線的對稱軸方程，進而求出BC的長；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據相似的性質得到：，再用含有m的代數式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本題要分當m＞1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當0＜m＜1時，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標．

試題解析：（1）當m=時，y=-x2+5x；

令y=0，得-x2+5x=0．

∴x1=0，x2=5，

∴A（5，0）．

當x=1時，y=4，

∴B（1，4）．

∵拋物線y=-x2+5x的對稱軸為直線x=，

又∵點B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=3；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖）．

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

tan∠ACH=tan∠PCB．

∴．

∵拋物線y=-x2+2mx的對稱軸為直線x=m，其中m＞1，

又∵B，C關于對稱軸對稱，

∴BC=2（m-1）．

∵B（1，2m-1），P（1，m），

∴BP=m-1．

又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），

∴H（2m-1，0）．

∴AH=1，CH=2m-1．

∴，

∴m=；

（3）存在．

∵B，C不重合，

∴m≠1，分兩種情況：

①當m＞1時，m=2，相對應的E點坐標是（2，0）或（0，4）；

②當0＜m＜1時，m=．，相對應的E點坐標是（，0）；

∴E點坐標是（2，0）或（0，4）或（，0）．