Question

【題目】在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．

（1）求點B的坐標；

（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點F，過點E作EG⊥x軸于G，且EG：OG＝2．求直線DE的解析式；

（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】

【1】如圖，作BH⊥x軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OH＝CB＝3．

在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此點B的坐標為(3,6)．

【2】因為OE＝2EB，所以，，E(2,4)．

設直線DE的解析式為y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，

得解得，．所以直線DE的解析式為．

【3】由，知直線DE與x軸交于點F(10,0)，OF＝10，DF＝．

①如圖，當DO為菱形的對角線時，MN與DO互相垂直平分，點M是DF的中點．

此時點M的坐標為(5,)，點N的坐標為(－5,)．

②如圖，當DO、DN為菱形的鄰邊時，點N與點O關于點E對稱，此時點N的坐標為(4,8)．

③如圖，當DO、DM為菱形的鄰邊時，NO＝5，延長MN交x軸于P．

由△NPO∽△DOF，得，

即．

解得，．此時點N的坐標為．

【解析】

（1）作BH⊥x軸，構建矩形，在直角三角形中求得BH=6，從而求得點B的坐標為(3,6)。

（2）待定系數法求得直線解析式。

（3）綜合性較強，考慮全面是正確解題的關鍵。