Question

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點D是射線OM上的動點，當點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連接DE．

（1）如圖1，求證：△CDE是等邊三角形．

（2）設OD＝t，

①當6＜t＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．

②求t為何值時，△DEB是直角三角形（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析; ②t＝2或14.

【解析】

（1）由旋轉的性質得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到結論；

（2）①當6＜t＜10時，由旋轉的性質得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據等邊三角形的性質得到DE=CD，由垂線段最短得到當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，于是得到結論；

②存在，當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形；當0≤t＜6時，由旋轉的性質得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根據等邊三角形的性質得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；當6＜t＜10時，此時不存在；當t＞10時，由旋轉的性質得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．

（1）∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等邊三角形；

（2）①存在，當6＜t＜10時，

由旋轉的性質得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，

由（1）知，△CDE是等邊三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD+4，

由垂線段最短可知，當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，

此時，CD＝2，

∴△BDE的最小周長＝CD+4＝2+4；

②存在，∵當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形，

∴當點D與點B重合時，不符合題意；

當0≤t＜6時，由旋轉可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED＝90°，

由（1）可知，△CDE是等邊三角形，

∴∠DEB＝60°，

∴∠CEB＝30°，

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，

∴t＝2；

當6＜t＜10時，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此時不存在；

當t＞10時，由旋轉的性質可知，∠DBE＝60°，

又由（1）知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE＝90°，

從而∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14，

∴t＝14，

綜上所述：當t＝2或14時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．