Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1、3，與y軸負半軸交于點C，在下面四個結論中：

①2a+b=0；

②c=﹣3a；

③只有當a=時，△ABD是等腰直角三角形；

④使△ACB為等腰三角形的a的值有三個．

其中正確的結論是_____．（請把正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，可判定①；由A點坐標為（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，由①得b=﹣2a，可得a+2a+c=0，即c=﹣3a．可判定②；要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；即D到x軸的距離就是當x=1時y的值的絕對值．所以當x=1時，y=a+b+c，即|a+b+c|=2，由圖象可知當x=1時y＜0，即可得a+b+c=﹣2，又因圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，∴當x=﹣1時y=0，即a﹣b+c=0，x=3時y=0，即9a+3b+c=0，解這三個方程求得b、a、c的值，即可判定③；要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，根據這三種情況求得a的值，即可判定④.

①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴AB=4，

∴對稱軸x=﹣=1，

即2a+b=0．故①正確；

②∵A點坐標為（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故②正確；

③要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；

D到x軸的距離就是當x=1時y的值的絕對值．

當x=1時，y=a+b+c，

即|a+b+c|=2，

∵當x=1時y＜0，

∴a+b+c=﹣2，

又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為﹣1，3，

∴當x=﹣1時y=0，即a﹣b+c=0，

x=3時y=0，即9a+3b+c=0，

解這三個方程可得：b=﹣1，a=，c=﹣．故③正確；

④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，

當AB=BC=4時，

∵BO=3，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=16﹣9=7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AB=AC=4時，

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=16﹣1=15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c=﹣，

與2a+b=0、a﹣b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；

同理當AC=BC時，

在△AOC中，AC2=1+c2，

在△BOC中BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，此方程無解．

經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．所以④錯誤．

故答案為：①②③．