Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于點A（1，0），交y軸于點B，對稱軸是x=2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使△PAB的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，P（2，1）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線經過點A（1，0），對稱軸是x=2列出方程組，解方程組求出b、c的值即可；

（2）因為點A與點C關于x=2對稱，根據軸對稱的性質，連接BC與x=2交于點P，則點P即為所求，求出直線BC與x=2的交點即可．

試題解析：（1）由題意得，，解得b=4，c=3，∴拋物線的解析式為．；

（2）∵點A與點C關于x=2對稱，∴連接BC與x=2交于點P，則點P即為所求，根據拋物線的對稱性可知，點C的坐標為（3，0），與y軸的交點為（0，3），∴設直線BC的解析式為：，∴，解得：，∴直線BC的解析式為：，則直線BC與x=2的交點坐標為：（2，1），∴點P的交點坐標為：（2，1）．