Question

【題目】已知直線CD⊥AB于點O，∠EOF＝90°，射線OP平分∠COF．

（1）如圖1，∠EOF在直線CD的右側：

①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度數；

②請判斷∠POE與∠BOP之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．

（2）如圖2，∠EOF在直線CD的左側，且點E在點F的下方：

①請直接寫出∠POE與∠BOP之間的數量關系；

②請直接寫出∠POE與∠DOP之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①∠BOF= 30°，∠POE=30°，②∠POE＝∠BOP（2）①∠POE＝∠BOP②∠POE+∠DOP＝270°

【解析】

（1）①根據余角的性質得到∠BOF＝∠COE＝30°，求得∠COF＝90°+30°＝120°，根據角平分線的定義即可得到結論；

②根據垂線的性質和角平分線的定義即可得到結論；

（2）①根據角平分線的定義得到∠COP＝∠POF，求得∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，于是得到∠POE＝∠BOP；

②根據周角的定義即可得到結論．

（1）①∵CD⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠BOF＝∠COE＝30°，

∴∠COF＝90°+30°＝120°，

∵OP平分∠COF，

∴∠COP＝∠COF＝60°，

∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；

②CD⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，

∴∠BOF＝∠COE，

∵OP平分∠COF，

∴∠COP＝∠POF，

∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，

∴∠POE＝∠BOP；

（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，

∵PO平分∠COF，

∴∠COP＝∠POF，

∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，

∴∠POE＝∠BOP；

②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，

∴∠POE+∠DOP＝270°．