Question

【題目】如圖，在和中，，，，且頂點D落在的內部（包含邊上），連結．當是以為腰的等腰直角三角形，則的面積為_____．

Answer 1

【答案】4或2

【解析】

根據是以為腰的等腰直角三角形，分∠ADE=90°或∠EAD=90°兩種情況討論，證明△AEC≌△BDC（SAS），求出△AEC的面積即可．

根據題意，當是以為腰的等腰直角三角形時，分∠ADE=90°或∠EAD=90°兩種情況討論，

①當∠ADE=90°時，

∵△ADE是等腰直角三角形，AD=ED，

∴∠AED=∠EAD=45°，

∵，，，

∴∠CED=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA=45°，ED=AD=，

∴∠ECA=∠DCB，∠AEC=∠AED+∠CED=90°，

∴△AEC≌△BDC（SAS），

∵Rt△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=，

∴Rt△AEC的面積==×4×2=4，

∴△BDC的面積=△AEC的面積=4；

②當∠EAD=90°時，則AE=AD，此時點D落在AB上，

由①可知，Rt△AEC≌Rt△BDC（SAS），

∴Rt△AEC是等腰直角三角形，

∴AE=CE=2，

∴△AEC的面積=×2×2=2，

即△BDC的面積=△AEC的面積=2；

故答案為：4或2．