Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點P從點A出發以2cm/s的速度沿A→D→C運動，點P從點A出發的同時點Q從點C出發，以1cm/s的速度向點B運動，當點P到達點C時，點Q也停止運動．設點P，Q運動的時間為t秒．

（1）從運動開始，當t取何值時，PQ∥CD？
（2）從運動開始，當t取何值時，△PQC為直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：當PQ∥CD時，四邊形PDCB是平行四邊形，

此時PD=QC，

∴12﹣2t=t，

∴t=4．

∴當t=4時，四邊形PQDC是平行四邊形．

（2）

過D點，DF⊥BC于F，

∴DF=AB=8．

FC=BC﹣AD=18﹣12=6，CD=10，

①當PQ⊥BC，

則BQ+CQ=18．即：2t+t=18，

∴t=6；

②當QP⊥PC，此時P一定在DC上，

CP1=10+12﹣2t=22﹣2t，CQ2=t，

易知，△CDF∽△CQ2P1，

∴，

解得：t=，

③情形：當PC⊥BC時，因∠DCB＜90°，此種情形不存在．

∴當t=6或時，△PQC是直角三角形．

【解析】（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以PQDC為頂點的四邊形是平行四邊形．
（2）點P處可能為直角，點Q處也可能是直角，而后求解即可．
【考點精析】掌握勾股定理的逆定理和平行四邊形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．