Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=10，BD=24，

（1）點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 ；

（2）點E、F、P分別在線段AB、BC、AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）．

【解析】

試題解析：（1）如圖1中，取CD中點M，連接EM與AC交于點P，PE+PF的最小值=PE+PM=EM，由此即可解決問題．

（2）如圖2，作點F關于AC的對稱點M，連接EM與AC交于點P，當EM⊥CD時，PE+PF=PE+PM=EM，此時PE+PF最短，由此即可解決問題．

解：（1）如圖1，

取CD中點M，連接EM與AC交于點P，

∵四邊形ABCD是菱形，AC=10，DB=24，

∴AC⊥BD，AD=AB==13，

∵DM=MC，CF=FB，CD、CB關于AC對稱，

∴M、F關于AC對稱，

∴PE+PF=PE+PM=EM最小，

∵AE=EB．DM=MC，

∴AE=DM．AE∥DM，

∴四邊形ADME是平行四邊形，∴ME=AD=13．

（2）如圖2，

作點F關于AC的對稱點M，連接EM與AC交于點P，

當EM⊥CD時，PE+PF=PE+PM=EM，此時PE+PF最短（垂線段最短），

∵S菱形ABCD=ACBD=ABEM，

∴×10×24=×13×EM，

∴EM=．