Question

【題目】如圖1，點是菱形對角線的交點，已知菱形的邊長為12，.

（1）求的長；

（2）如圖2，點是菱形邊上的動點，連結并延長交對邊于點，將射線繞點順時針旋轉交菱形于點，延長交對邊于點.

①求證：四邊形是平行四邊形；

②若動點從點出發，以每秒1個單位長度沿的方向在和上運動，設點運動的時間為，當為何值時，四邊形為矩形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②或或或.

【解析】

（1）解直角三角形求出BO即可解決問題；

（2）①想辦法證明OE＝OG，HO＝FO即可解決問題；

②分四種情形畫出圖形，（Ⅰ）如圖1，當時，，關于對稱，（Ⅱ）如圖2，當，關于對稱時，，（Ⅲ）如圖3，此時與圖2中的的位置相同，（Ⅳ）如圖4，當，關于對稱時，四邊形EFGH是矩形．分別求解即可解決問題；

解：（1）∵四邊形為菱形，，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

（2）①∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，BO＝OD，

∴∠EBO＝∠GDO

∵∠BOE＝∠DOG，

∴△EOB≌△GOD，

∴EO＝GO，同理可得HO＝FO，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

②由①得四邊形為平行四邊形，

∴當時，四邊形為矩形.

（Ⅰ）如圖1，當時，，關于對稱.

∵，

∴，

∴.

過點作于點，

∴，.

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）如圖2，當，關于對稱時，.

∵，

∴，

∴.

∵，

∴.

∴，

∴；

（Ⅲ）如圖3，此時與圖2中的的位置相同，

∴，

∴，

∴；

（Ⅳ）如圖4，當，關于對稱時，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴，

∴.

∴，

∴.

綜上所述，或或或.