Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，小慧同學(xué)利用直尺和規(guī)進(jìn)行了如下操作：①連接AC，分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P、Q；②作直線PQ，分別交BC、AC、AD于點(diǎn)E、O、F，連接AE、CF．根據(jù)操作結(jié)果，解答下列問(wèn)題：

（1）線段AF與CF的數(shù)量關(guān)系是 .

（2）若∠BAD=120°，AE平分∠BAD，AB=8，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

【答案】（1）FA=FC；（2）

【解析】

（1）根據(jù)基本作圖和線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

（2））由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，利用平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，則∠AEB=∠DAE=60°，所以△ABE為等邊三角形，則AE=AB=8，∠B=60°，于是可計(jì)算出AC=AB=8，再證明△AEF為等邊三角形得到EF=8，然后根據(jù)三角形面積公式利用四邊形AECF的面積=EF×AC進(jìn)行計(jì)算．

解：（1）由作法得EF垂直平分AC，

所以FA=FC．

故答案為FA=FC；

（2）∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE=60°，

∴△ABE為等邊三角形，

∴AE=AB=8，∠B=60°，

∵EA=EC，

∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，

∴AC=AB=8，

∵∠CAD=60°-30°=30°，

即OA平分∠EAF，

∴AF=AE=8，

∴△AEF為等邊三角形，

∴EF=8，

∴四邊形AECF的面積=．