Question

【題目】在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩OABC的位置如圖所示，點A，C的坐標分別為（10，0），（0，8），點P是y軸上的一個動點，將△OAP沿AP翻折得到：△O′AP，直線BC與直線O′P交于點E，與直線O′A交于點F．

（1）當O′落在直線BC上時，求折痕AP的長．
（2）當點P在y軸正半軸上時，若△PCE與△POA相似，求直線AP的解析式；
（3）在點P的運動過程中，是否存在某一時刻，使得 ？若存在，求點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：圖1，當O′落在直線BC上時，在RT△ABO′中，∵AO′=10，AB=8，

∴BO′= = =6，

∵△APO′是由△AOP翻折，

∴可以設PO=PO′=x，

在RT△PCO′中，∵PO′2=PC2+CO′2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴AP= = =5

（2）

解：當∠CPE=∠APO時，

∵∠CPE=∠APO=∠APO′=60°，

∴OP= OA= ，

設直線AP為y=kx+b，由題意 解得 ，

∴直線AP為y=﹣ x+ ．

當∠CPE=∠OAP時，∠CEP=∠APO=∠APO′，此時AP∥EC，顯然不可能

（3）

解：情形1如圖2中，

∵CE= BC=2，

∴BE=8，AE= =8 ，EO′= =2 ，

設OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x﹣2 ）2=（8﹣x）2+22，

∴x= ，此時P[0， ]，

情形2如圖3中，

同理O′E=2 ，

設OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x+2 ）2=（8﹣x）2+22，

∴x= ，此時P[0， ]，

情形3如圖4中，

AE= = =4 ，

EO′= =6 ，

設OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6 ﹣x）2=（x﹣8）2+22，

∴x= ，此時P[0， ]，

情形4如圖5中，

設OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6 ﹣x）2=（x+8）2+22，

∴x= ，此時P[0， ]．

【解析】（1）先在RT△ABO′求出BO′，設PO=PO′=x，在RT△PCO′中利用勾股定理解決即可．（2）當∠CPE=∠APO時得∠CPE=∠APO=∠APO′=60°求出OP= OA即可．當∠CPE=∠OAP時，∠CEP=∠APO=∠APO′，此時AP∥EC，顯然不可能．（3）分四種情形討論，在RT△PCE中利用E2=PC2+CE2列出方程求解 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．