Question

【題目】研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質和判定． 定義：六個內角相等的六邊形叫等角六邊形．

（1）研究性質 ①如圖1，等角六邊形ABCDEF中，三組正對邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么位置關系？證明你的結論．
②如圖2，等角六邊形ABCDEF中，如果有AB=DE，則其余兩組正對邊BC與EF，CD與AF相等嗎？證明你的結論．
③如圖3，等角六邊形ABCDEF中，如果三條正對角線AD，BE，CF相交于一點O，那么三組正對邊AB與DE，BC與EF，CD與AF分別有什么數量關系？證明你的結論．
（2）探索判定 三組正對邊分別平行的六邊形，至少需要幾個內角為120°，才能保證六邊形一定是等角六邊形？

Answer 1

【答案】
（1）解：①結論：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．

證明：連接AD，如圖1，

∵六邊形ABCDEF是等角六邊形，∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B= =120°．

∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°．

∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE．

同理BC∥EF，CD∥AF．

②結論：EF=BC，AF=DC．

證明：連接AE、DB，如圖2，

∵AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．

∴AE=DB，∠EAB=∠BDE．

∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB．

在△AFE和△DCB中，

．

∴△AFE≌△DCB．

∴EF=BC，AF=DC．

③結論：AB=DE，AF=DC，EF=BC．

延長FE、CD相交于點P，延長EF、BA相交于點Q，延長DC、AB相交于點S，如圖3．

∵六邊形ABCDEF是等角六邊形，∴∠BAF=∠AFE=120°．∴∠QAF=∠QFA=60°．

∴△QAF是等邊三角形．∴∠Q=60°，QA=QF=AF．

同理：∠S=60°，SB=SC=BC；∠P=60°，PE=PD=ED．

∵∠S=∠P=60°，∴△PSQ是等邊三角形．∴PQ=QS=SP．

∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC．∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC．

∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴ ．

同理： ， ．

∴ ．

∴ = =1．

∴AB=ED，AF=DC，EF=BC．

（2）解：連接BF，如圖4，

∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°．

∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°．

同理：∠A+∠ABC+∠C=360°．

∴∠AFE=∠C．

同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E．

Ⅰ．若有2個內角等于120°，不能保證該六邊形一定是等角六邊形．

反例：當∠A=∠D=120°，∠ABC=150°時，∠E=∠ABC=150°．

∵六邊形的內角和為720°，∴∠AFE=∠C= （720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°．

此時該六邊形不是等角六邊形．

Ⅱ．若有3個內角等于120°，能保證該六邊形一定是等角六邊形．

設∠A=∠D=α，∠ABC=∠E=β，∠AFE=∠C=γ．則2α+2β+2γ=720°．∴α+β+γ=360°．

∵有3個內角等于120°，∴α、β、γ中至少有兩個為120°．

若α、β、γ都等于120°，則六個內角都等于120°；

若α、β、γ中有兩個為120°，根據α+β+γ=360°可得第三個也等于120°，則六個內角都等于120°．

綜上所述：至少有3個內角等于120°，能保證該六邊形一定是等角六邊形．

【解析】（1）通過驗證容易得到猜想：三組正對邊分別平行．要證明兩條線段平行，只需證明同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補，要證AB∥DE，只需連接AD，證明∠ADE=∠DAB即可，其它兩組同理可得．（2）要證BC=EF，CD=AF，只需連接AE、BD，證明△AFE≌△DCB即可．（3）由條件“三條正對角線AD，BE，CF相交于一點O”及（1）中的結論可證到 = ，將等角六邊形ABCDEF補成等邊三角形后，可以證到AB+AF=DE+DC，從而得到三組正對邊分別相等．（4）若只有1個內角為120°或有2個內角為120°，可以通過舉反例說明該六邊形不一定是等角六邊形；若有3個內角為120°，可以通過分類討論證明該六邊形一定是等角六邊形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解多邊形內角與外角的相關知識，掌握多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，以及對平行四邊形的判定與性質的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．