Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，QN是⊙O的切線，連接MQ交⊙O于點H，E為上一點，連接ME，NE，NE交MQ于點F，且ME2=EFEN．

（1）求證：QN=QF；

（2）若點E到弦MH的距離為1，cos∠Q=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.5．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，通過相似三角形（△MEF∽△MEN）的對應角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、對頂角相等證得∠2=∠3；最后根據等角對等邊證得結論；

（2）如圖2，連接OE交MQ于點G，設⊙O的半徑是r．根據（1）中的相似三角形的性質證得∠EMF=∠ENM，所以由“圓周角、弧、弦間的關系”推知點E是弧MH的中點，則OE⊥MQ；然后通過解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO=，則可以求r的值．

試題解析：（1）如圖1，

∵ME2=EFEN，

∴．

又∵∠MEF=∠MEN，

∴△MEF∽△MEN，

∴∠1=∠EMN．

∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，

∴∠2=∠3，

∴QN=QF；

（2）解：如圖2，連接OE交MQ于點G，設⊙O的半徑是r．

由（1）知，△MEF∽△MEN，則∠4=∠5．

∴．

∴OE⊥MQ，

∴EG=1．

∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，

∴sin∠GMO=，

∴，即，

解得，r=2.5，即⊙O的半徑是2.5．