Question

在直角坐標系中，⊙O₁經過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B．
（1）如圖，過點A作⊙O₁的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為

12

5

，sin∠ABC=

3

5

，求直線AC的解析式；
（2）若⊙O₁經過點M（2，2），設△BOA的內切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發生變化？如果不變，求出其值；如果變化，求其變化的范圍．

Answer 1

（1）如圖1，過O作OG⊥AB于G，則OG=

12

5

．
設OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=

3

5

．
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB′
∴3k×4k=5×

12

5

，∴k=1．
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O₁的直徑．
∵AC切⊙O₁于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=

AB

BC

=

4

5

，
∴BC=

25

4

．
∴OC=BC-OB=

9

4

．
∴C（0，-

9

4

）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，則

3k+b=0 b=- 9 4

∴k=

3

4

，b=-

9

4

．
∴直線AC的解析式為y=

3

4

x-

9

4

．

（2）結論：d+AB的值不會發生變化，
設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，如圖2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=

d

2

．
∴BQ=BT=OB-

d

2

，AP=AT=OA-

d

2

．
∴AB=BT+AT=OB-

d

2

+OA-

d

2

=OA+OB-d．
則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN．
∵M（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2

2

，
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=

OM2+MN2

=

2

×OM=

2

×2

2

=4．
∴d+AB的值不會發生變化，其值為4．