Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，連接ED，EB，則△BDE周長的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2 +2
【解析】解：過B作BO⊥AC于O，延長BO至B′，使BO=B′O，連接B′D，交AC于E，連接BE、B′C，
∴AC為BB′的垂直平分線，
∴BE=B′E，B′C=BC=4，
此時△BDE的周長為最小，
∵∠B′BC=45°，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BCB′=90°，
∵D為BC的中點，
∴BD=DC=2，
∴B′D= = =2 ，
∴△BDE的周長=BD+DE+BE=B′E+DE+BD=DB′+DB=2 +2，
故答案為：2 +2．

作B關于AC的對稱點B′，連接B′D、B′C、BE，得B′C=BC=4，且△BB′C是等腰直角三角形，所以利用勾股定理得DB′的長，所以可以求得△BDE的周長的最小值為2 +2．