Question

【題目】如圖，△A1B1C1是邊長為1的等邊三角形，A2為等邊△A1B1C1的中心，連接A2B1并延長到點B2 ， 使A2B1=B1B2 ， 以A2B2為邊作等邊△A2B2C2 ， A3為等邊△A2B2C2的中心，連接A3B2并延長到點B3 ， 使A3B2=B2B3 ， 以A3B3為邊作等邊△A3B3C3 ， 依次作下去得到等邊△AnBnCn ， 則等邊△A6B6C6的邊長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：作A2D1⊥A1B1于D1 ， A3D2⊥A2B2于D2 ， 如圖， ∵△A1B1C1是邊長為1的等邊三角形，A2為等邊△A1B1C1的中心，
∴∠A2B1D1=30°，B1D1= A1B1= ，
∴cos∠A2B1D1=cos30°= = ，
∴A2B1= ，
∵A2B1=B1B2 ，
∴A2B2= ，
同理可得∠A3B2D2=30°，B2D2= A2B2= × = ，
∴cos∠A3B2D2=cos30°= = ，
∴A3B2= ，
∵A3B2=B2B3 ，
∴A3B3= =（ ）2 ，
同理可得A4B4=（ ）3 ，
A5B5=（ ）4 ． A6B6C=（ ）5= ，
故答案為 ．

作A2D1⊥A1B1于D1 ， A3D2⊥A2B2于D2 ， 根據等邊三角形的中心的性質得∠A2B1D1=30°，B1D1= A1B1= ，利用余弦的定義得cos∠A2B1D1=cos30°= = ，可計算出A2B1= ，由A2B1=B1B2得到A2B2= ，用同樣的方法可計算出A3B3=（ ）2 ， 特殊的結論．