Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點P是這個菱形內部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內部）的點滿足題意，此時就轉化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短“，即當點P與點A重合時，PD值最小，為2；②若以邊PC為底，∠PBC為頂角時，以點B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點，則弧AC（除點C外）上的所有點都滿足△PBC是等腰三角形，當點P在BD上時，PD最小，最小值為2√3﹣2；③若以邊PB為底，∠PCB為頂角，以點C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點A與點D均滿足△PBC為等腰三角形，當點P與點D重合時，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在； 綜上所述，PD的最小值為2 ﹣2．
分三種情形討論①若以邊BC為底．②若以邊PC為底．③若以邊PB為底．分別求出PD的最小值，即可判斷．