Question

【題目】如圖,⊙O 的半徑為１,直線CD 經過圓心O,交⊙O 于C、D 兩點,直徑AB⊥CD,點 M 是直線CD 上異于點C、O、D 的一個動點,AM 所在的直線交⊙O 于點N,點 P 是直線CD 上另一點,且PM＝PN．

(1)當點 M 在⊙O 內部,如圖①,試判斷 PN 與⊙O 的關系,并寫出證明過程;

(2)當點 M 在⊙O 外部,如圖②,其他條件不變時,(1)的結論是否還成立? 請說明理由;

(3)當點 M 在⊙O 外部,如圖③,∠AMO＝15°,求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）成立，理由詳見解析；（3）＋－．

【解析】試題分析：（1）PN 與⊙O 相切．要證明ONPN即可，連接ON，PM＝PN，所以∠PNM＝∠PMN，∠AMO＝∠PMN，AB⊥CD,所以∠PMN+∠MAO=90°，又因∠MAO=∠MNO,所以∠PNM+∠MNO=90°，所以PN 與⊙O 相切．（2）成立，進行等量代換，∠MAO+∠OMA=90°，因∠OMA=∠PNM，∠MAO=∠ONA,所以∠PNM+∠ONA=90°，所以∠ONP=90°；（3）陰影部分的面積可通過SAOC+S扇形AOC-SAON求得.

(1)PN 與⊙O 相切．證明：連接ON，則∠ONA＝∠OAN．

∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．又∵∠AMO＝∠PMN，

∴∠PNM＝∠AMO．

∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN 與⊙O 相切．

(2)成立．理由如下：連接ON，則∠ONA＝∠OAN．

∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．

在Rt△AOM中,∠OMA＋∠OAM＝90°．∴∠PNM＋∠ONA＝90°,

∴∠PNO＝180°－90°＝90°．即PN 與⊙O 相切．

(3)連接ON，由(2)可知∠ONP＝90°．

∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，

∴∠PON＝60°,∠AON＝30°．

過點N 作NE⊥OD，垂足為點E．則OE＝．∴NE＝．

∴S陰影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝OC·OA＋－CO·NE

＝＋－

∴圖中陰影部分的面積為＋－