Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點D從B點出發沿B→A方向在線段BA上以a cm/s速度運動，與此同時，點E從線段BC的某個端點出發，以b cm/s速度在線段BC上運動，當D到達A點后，D、E運動停止，運動時間為t（秒）

（1）如圖1，若a=b=1，點E從C出發沿C→B方向運動，連AE、CD，AE、CD交于F，連BF．當0＜t＜6時：
①求∠AFC的度數；
②求 的值；
（2）如圖2，若a=1，b=2，點E從B點出發沿B→C方向運動，E點到達C點后再沿C→B方向運動．當t≥3時，連DE，以DE為邊作等邊△DEM，使M、B在DE兩側，求M點所經歷的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

由題可得BD=CE=t．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．

在△BDC和△CEA中，

，

∴△BDC≌△CEA，

∴∠BCD=∠CAE，

∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，

∴∠AFC=120°；

②延長FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，過點B作BH⊥FG于H，如圖2，

∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，

∴△FAG是等邊三角形，

∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠GAF=∠BAC，

∴∠GAB=∠FAC．

在△AGB和△AFC中，

，

∴△AGB≌△AFC，

∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，

∴∠BGF=60°．

設AF=x，FC=y，

則有FG=AF=x，BG=CF=y．

在Rt△BHG中，

BH=BGsin∠BGH=BGsin60°= y，

GH=BGcos∠BGH=BGcos60°= y，

∴FH=FG﹣GH=x﹣ y．

在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2

=（ y）2+（x﹣ y）2=x2﹣xy+y2．

∴ = =1；

（2）解：過點E作EN⊥AB于N，連接MC，如圖3，

由題可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．

∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BEcosB= BE=6﹣t，

∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，

∴DN=EC．

∵△DEM是等邊三角形，

∴DE=EM，∠DEM=60°．

∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴∠NDE=∠MEC．

在△DNE和△ECM中，

，

∴△DNE≌△ECM，

∴∠DNE=∠ECM=90°，

∴M點運動的路徑為過點C垂直于BC的一條線段．

當t=3時，E在點B，D在AB的中點，

此時CM=EN=CD=BCsinB=6× =3 ；

當t=6時，E在點C，D在點A，

此時點M在點C．

∴當3≤t≤6時，M點所經歷的路徑長為3 ．

【解析】（1）①如圖1，由題可得BD=CE=t，易證△BDC≌△CEA，則有∠BCD=∠CAE，根據三角形外角的性質可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延長FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，過點B作BH⊥FG于H，如圖2，易證△FAG是等邊三角形，結合△ABC是等邊三角形可證到△AGB≌△AFC，則有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，從而可得∠BGF=60°．設AF=x，FC=y，則有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中運用三角函數可得BH= y，GH= y，從而有FH=x﹣ y．在Rt△BHF中根據勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2 ， 代入所求代數式就可解決問題；（2）過點E作EN⊥AB于N，連接MC，如圖3，由題可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，從而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，進而可得DN=EC．由△DEM是等邊三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，從而可得∠NDE=∠MEC，進而可證到△DNE≌△ECM，則有∠DNE=∠ECM=90°，故M點運動的路徑為過點C垂直于BC的一條線段．然后只需確定點M的始點和終點位置，就可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．