Question

【題目】在正方形中，動點分別從兩點同時出發，以相同的速度在直線上移動；

(1)如圖①,當分別移動到邊的延長線上時，連接和與的關系為____ ；

(2)如圖②，己知正方形的邊長為點和分別從點同時出發，以相同的速度沿方向向終點和運動，連接和，交于點，請你畫出點運動路線的草圖，試求出線段的最小值．

(3)如圖③，在(2)的條件下，求周長的最大值；

Answer 1

【答案】（1）AE＝DF，AE⊥DF；（2）點運動路線見解析；線段CP的最小值為；（3）△APD周長的最大值為．

【解析】

（1）根據正方形的性質利用SAS證明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，延長FD交AE于點G，求出∠ADG＋∠DAE＝90°即可；

（2）根據AE⊥DF可知點P在以AD為直徑的圓弧上，當O、C、P三點共線時，線段CP最小，求出OC即可得到線段CP的最小值；

（3）如圖③，以AD為斜邊向外作等腰直角△ADG，過點G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延長線于點N，連接GP，首先證明△AMG≌△DNG，四邊形GMPN是正方形，然后求出PA＋PD＝2GM，且GM的最大值＝AG＝，再由三角形周長公式可得答案．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，

∵動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動，

∴DE＝CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，

延長FD交AE于點G，如圖①所示，則∠CDF＋∠ADG＝90°，

∴∠ADG＋∠DAE＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴AE⊥DF，

故答案為：AE＝DF，AE⊥DF；

（2）由（1）可知AE⊥DF，

∴在點E、F的運動過程中，∠APD始終是90°，

∴點P在以AD為直徑的圓弧上，即劣弧DH，如圖所示，

設圓心為O，連接OC，則O、C、P三點共線時，線段CP最小，

∵圓心O為AD中點，正方形的邊長為4，

∴OA＝OD＝OP＝2，

∴OC＝，

∴線段CP的最小值為：；

（3）如圖③，以AD為斜邊向外作等腰直角△ADG，過點G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延長線于點N，連接GP，

∵∠GMP＝∠MPN＝∠N＝90°，

∴四邊形GMPN是矩形，

∴∠MGN＝∠AGD＝90°，

∴∠AGM＝∠DGN，

∵∠AMG＝∠DNG＝90°，AG＝DG，

∴△AMG≌△DNG（AAS），

∴AM＝DN，MG＝NG，

∴矩形GMPN是正方形，

∴PA＋PD＝PM＋AM＋PN－DN＝PM＋PN＝2PM＝2GM，

∵GM≤AG，

∴GM的最大值＝AG＝，

∴PA＋PD的最大值為，

∴△APD周長的最大值為：．