Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，與x軸交于另一點B．

求此拋物線的解析式；

若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點不與點B重合，點Q在線段MB上移動，且，設線段，，求與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

在同一平面直角坐標系中，兩條直線，分別與拋物線交于點E、G，與中的函數圖象交于點F、問四邊形EFHG能否成為平行四邊形？若能，求m、n之間的數量關系；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）m、n之間的數量關系是且．

【解析】

將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出的函數解析式；

過M作軸于N，根據拋物線的函數解析式，即可得到M點的坐標，可分別在和中，用勾股定理表示出MN的長，由此可得到關于PM、x的函數關系式；由于，易證得∽，根據相似三角形得到的比例線段即可得到關于PM、的關系式，聯立兩式即可求出、x的函數關系式；

根據兩根拋物線的解析式和兩條直線的解析式，可求出E、F、G、H四點的坐標，即可得到EF、GH的長，由于，若四邊形EFHG是平行四邊形，那么必有，可據此求出m、n的數量關系．

解：拋物線經過，兩點；

，

解得．

拋物線的解析式為；

作，垂足為N．

由，易得，，，；

，，，；

根據勾股定理有：，

；

又，公共角，

∽，

；

由得：；

，

與x的函數關系式為；

四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是：且；

點E、G是拋物線分別與直線，的交點，

點E、G坐標為，；

同理，點F、H坐標為，

，；

四邊形EFHG是平行四邊形，，

，

；

由題意知，

；

因此四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是且．