Question

在四邊形中，，且．取的中點(diǎn)，連結(jié)．

（1）試判斷三角形的形狀；
（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使．若存在，請(qǐng)求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）等腰直角三角形（2）存在，當(dāng)時(shí)，有一點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，有兩點(diǎn)，

解：（1）在四邊形中，，，
四邊形為直角梯形（或矩形）．
過點(diǎn)作，垂足為，，

又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
又，
，
與是全等的等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
（2）存在點(diǎn)使．
以為直徑，為圓心作圓．
當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，，
圓與相切于點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，存在點(diǎn)，使得，
此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，四邊形為直角梯形，
，，圓心到的距離小于圓的半徑，圓與相交，上存在兩點(diǎn)，使，
過點(diǎn)作，在中，，

連結(jié)，則，
在直角三角形中，，
．
同理可得：．
綜上所述，在線段上存在點(diǎn)，使．
當(dāng)時(shí)，有一點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，有兩點(diǎn)，．
根據(jù)已知條件，得到四邊形ABCD為直角梯形或矩形．
（1）過點(diǎn)P作PQ⊥BC，易證PQ=BQ=QC，則△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．
（2）判斷在線段BC上，是否存在點(diǎn)M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性質(zhì)與判定得出即可．