Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連結AM并將線段AM繞點M順時針旋轉90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP＝BM，連結NP、BP.

(1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

(2)線段MN與CD交于點Q，連結AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BM＝MC.理由見解析

【解析】試題分析：（1）由已知條件不難證明△ABM≌△BCP，可得出AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，因為∠BAM＋∠AMB＝90°，所以∠CBP＋∠AMB＝90°，所以AM⊥BP，由題意得AM⊥MN，且AM＝MN，所以MN∥BP，MN＝BP，故證明出四邊形BMNP是平行四邊形；（2）BM＝MC，連接AQ，由已知條件不難證明△ABM∽△MCQ，可得=，因為△MCQ∽△AMQ，

所以△AMQ∽△ABM，可得=，所以=，所以BM＝MC.

試題解析：

(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C.

在△ABM和△BCP中，，

∴△ABM≌△BCP(SAS)，

∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，

∵∠BAM＋∠AMB＝90°，

∴∠CBP＋∠AMB＝90°，

∴AM⊥BP，

∵將線段AM繞點M順時針旋轉90°得到線段MN，

∴AM⊥MN，且AM＝MN，

∴MN∥BP，MN＝BP，

∴四邊形BMNP是平行四邊形；

(2) BM＝MC，理由如下：

連接AQ，

∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，

∴∠BAM＝∠CMQ，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴=,

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴=,

∴=，

∴BM＝MC.