Question

【題目】菱形中，，，為上一個動點，，連接并延長交延長線于點.

（1）如圖1，求證：；

（2）當為直角三角形時，求的長；

（3）當為的中點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當為直角三角形時，的長是或；（3）.

【解析】

（1）先根據菱形的性質證，再證，由全等的性質可得，進而得出結論；

（2）分以下兩種情況討論：①，②；

（3）過作于，過作于，當三點在同一直線上且時的值最小，即為的長.

解：（1）四邊形是菱形，

，，

.

在和中，

，

，

.

（2）連接交于點,

四邊形是菱形,

，.

又∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，

∴，.

∴.

∴.

，

.

當時，有，

在中，

,

設，，

，

，解得.

.

.

當時，有，

由知，

是等腰直角三角形.

.

綜上：當為直角三角形時，的長是或.

（3）過作于，過作于，

在中，

又是的中點，

.

當三點在同一直線上且時

的值最小，即為的長.

在中，

，，

，

∴.

的最小值是.