Question

【題目】已知拋物線l：y=（x﹣h）2﹣4（h為常數）

（1）如圖1，當拋物線l恰好經過點P（1，﹣4）時，l與x軸從左到右的交點為A、B，與y軸交于點C．

①求l的解析式，并寫出l的對稱軸及頂點坐標．

②在l上是否存在點D，使S△ABD=S△ABC ， 若存在，請求出D點坐標，若不存在，請說明理由．

③點M是l上任意一點，過點M做ME垂直y軸于點E，交直線BC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點M的坐標．

（2）設l與雙曲線y=有個交點橫坐標為x0，且滿足3≤x0≤5，通過l位置隨h變化的過程，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，﹣4）；②（1+，3）或（1﹣，3）；③（﹣+1，﹣）或（+1，﹣）；（2）當2≤h≤5﹣或4≤h≤5+時.

【解析】（1）①將P（1，-4）代入得到關于h的方程，從而可求得h的值，可得到拋物線的解析式，然后依據拋物線的解析式可直接得到拋物線的對稱軸和頂點坐標；

②先求得OC的長，然后由三角形的面積公式可得到點D的縱坐標為3或-3，最后將y的值代入求得對應的x的值即可；

③先證明四邊形OEDF為矩形，則DO=EF，由垂線的性質可知當OD⊥BC時，OD有最小值，即EF有最小值，然后由中點坐標公式可求得點D的坐標，然后可的點M的縱坐標，由函數的關系式可求得點M的橫坐標；

（2）拋物線y=（x-h）2-4的頂點在直線y=-4上，然后求得當x=3和x=5時，雙曲線對應的函數值，得到點A和點B的坐標，然后分別求得當拋物線經過點A和點B時對應的h的值，然后畫出平移后的圖象，最后依據圖象可得到答案．

（1）①將P（1，﹣4）代入得：（1﹣h）2﹣4=﹣4，解得h=1，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，﹣4）；

②將x=0代入得：y=﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3），

∴OC=3，

∵S△ABD=S△ABC，

∴點D的縱坐標為3或﹣3，

當y=﹣3時，（x﹣1）2﹣4=﹣3，解得x=2或x=0，

∴點D的坐標為（0，﹣3）或（2，﹣3），

當y=3時，（x﹣1）2﹣4=3，解得：x=1+或x=1﹣，

∴點D的坐標為（1+ ，3）或（1﹣ ，3），

綜上所述，點D的坐標為（0，﹣3）或（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）時，S△ABD=S△ABC ；

③如圖1所示：

∵∠EOF=∠OED=∠OFD=90°，

∴四邊形OEDF為矩形，

∴DO=EF，

依據垂線段的性質可知：當OD⊥BC時，OD有最小值，即EF有最小值，

把y=0代入拋物線的解析式得：（x﹣1）2﹣4=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B（3，0），

∴OB=OC，

又∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

∴點D的坐標（，﹣），

將y=﹣代入得：（x﹣1）2﹣4=﹣，解得x=﹣+1或x= +1．

∴點M的坐標為（﹣+1，﹣）或（ +1，﹣）

（2）∵y=（x﹣h）2﹣4，

∴拋物線的頂點在直線y=﹣4上，

理由：對雙曲線，當3≤x0≤5時，﹣3≤y0≤﹣，

即L與雙曲線在A（3，﹣3），B（5，﹣）之間的一段有個交點，

當拋物線經過點A時，（3﹣h）2﹣4=﹣3，解得h=2或h=4，

當拋物線經過點B時，（5﹣h）2﹣4=﹣，解得：h=5+或h=5﹣ ，

隨h的逐漸增加，l的位置隨向右平移，如圖所示，

由函數圖象可知：當2≤h≤5﹣或4≤h≤5+時，拋物線與雙曲線在3≤x0≤5段有個交點.