Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BP=BQ，連結CQ．
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并說明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，連結PQ，判斷△PQC的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=CQ．理由如下：

∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，

∴△BPQ為等邊三角形，

∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，

∴∠CBQ=∠ABP，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ

（2）解：∵等邊△ABC和等邊△BPQ中，

PB=PQ=4，PA=QC=3，

∵PQ2+CQ2=PC2，

∴△PQC為直角三角形（勾股定理逆定理）

【解析】（1）易證△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根據PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC為直角三角形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的逆定理的相關知識，掌握如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．