Question

如圖1，已知，，．是射線上的動點（點與點不重合），是線段的中點．

（1）設，的面積為，求關于的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（2）如果以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，求線段的長；
（3）連接，交線段于點，如果以為頂點的三角形與相似，求線段的長．

Answer 1

(1)過點M作MF⊥AB 垂足為F則MF是梯形的中位線

∴MF＝  …………………………1分
∴

即 且   ………………3分
（2）連結點M、F，過點D作DH⊥BC，垂足為H

  …………5分
解得   ……………………………………6分
（3）設線段BE＝x
易證∠DAM＝∠EBM
①當∠ADB＝∠MEB時
∵AD∥BE ∴∠AND＝∠DBE
∴∠DBE＝∠DEB 易得BE＝2AD=8  ……………8分
②當∠ADB＝∠BME時
∠ADB＝∠BMC＝∠DBC
又∵∠BMC＝∠DMB＋∠BDM
∴∠BDM＝∠MBC ∴△BDE∽△MBE………………10分
∴ ∴
∵
∴
解得    ………………12分

（1）△ABM中，已知了AB的長，要求面積就必須求出M到AB的距離，如果連接AB的中點和M，那么這條線就是直角梯形的中位線也是三角形ABM的高，那么AB邊上的高就是（AD+BE）的一半，然后根據三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式；
（2）根據以AB，DE為直徑的圓外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根據BE，AD的差和AB的長，用勾股定理來表示出DE，然后根據上面分析的等量關系得出關于x的方程，即可求出x的值，即BE的長；
（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進行討論：
①當∠ADN=∠BME時，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關于DE，BE，EM的比例關系式，即可求出x的值．
②當∠AND=∠BEM時，∠ADB=∠BEM，可根據這兩個角的正切值求出x的值．