Question

【題目】如圖，A點的坐標為（0，3），B點的坐標為（-3.0），D為x軸上的一個動點，AE⊥AD，且AE=AD，連接BE交y軸于點M

（1）若D點的坐標為（-5.0），求E點的坐標:

（2）求證:M為BE的中點

（3）當D點在x軸上運動時，探索:為定值

Answer 1

【答案】（1）E(3,-2)；（2）詳見解析；（3）

【解析】

(1) 過E點作EF⊥y軸交y軸于F點，先證明△AOD≌△EFA(AAS)，根據全等三角形的性質即可得到E點的坐標；

(2)先把D點的位置畫出來，再證明△AOD≌△EFA(AAS)，再根據全等三角形的性質證明△BOM≌△EFM(AAS)，即可證明M為BE的中點；

(3)從(1)(2)的信息可知得到，再結合即可得到的比值為定值；

(1) 過E點作EF⊥y軸交y軸于F點

∵AD⊥AE , EF⊥AF

∠AOD=∠AFE=90°

∵∠DAO+∠EAF=90°

∠EAF+∠AEF=90°

∴∠DAO=∠AEF

在△AOD和△EFA中

△AOD≌△EFA(AAS)

EF=OA=3 AF=OD=5

OF=AF-OA=5-3=2

E(3,-2)

(2)

D點在以上3個位置，

根據題意知道：AE=AD，，

又∵ ，

∴

∴△AOD≌△EFA(AAS)

∴OB=EF ∠BOM=∠EMF=90°

∠BOM=∠EMF

∴△BOM≌△EFM(AAS)

BM=EM=BE

(3) 根據(2)可知，D點在可以在3個位置，

當D點如下圖的位置時，過D作直線a⊥x軸與D，過A作AG垂直直線a于G，

由(2)知△BOM≌△EFM(AAS)，

∴EF=OB，

又由(1)知△AOD≌△EFA(AAS)

即：EF=OA =OB，AF=OD

∴ ，

又∵

∴=，

當D在另外兩個位置時，同理可證得=；