Question

用網格線將平面分成若干個面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形.設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數和為.

（1）上圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數和的對應關系如下表，請寫出S與之間的關系式.

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	3	4	5	6	…
各邊上格點的個數和	3	4	5	6	…

答：S=              .
（2）請你再畫出一些格點多邊形，使這些多邊形內部都有而且只有2格點.此時所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數和之間的關系式是：S=          .
（3）請你繼續探索，當格點多邊形內部有且只有個格點時，猜想S與有怎樣的關系？答：S=                  .

Answer 1

（1）x；（2）x+2；（3）.

試題分析（1）多邊形的面積=各邊上格點個數半，即S=x；（2）內部有2個格點就是指圖形的中間有2個小正三角形的頂點，由此畫圖；并根據圖找出S與x的關系；（3）由圖可知多邊形內部都有而且只有n格點時，面積為：．
試題解析：（1）圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，根據以上信息，多邊形的面積=各邊上格點個數，即S=x.
（2）根據圖可知：

正方形的面積是8，它的各邊上格點的個數和x是6，中間格點數是2，8=6+2；
三角形的面積是5，它的各邊上格點的個數和x是3，中間格點數是2， 5=3+2；
五邊形的面積是7，它的各邊上格點的個數和x是5，中間格點數是2， 7=5+2.
那么S=x+2.
（3）通過上題探究可知：最后的1就是內部的格點數而得，所以格點多邊形面積=各邊上格點的個數和×+（多邊形內部格點數的2倍-2）；即：.