Question

【題目】十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

圖1 圖2

（探索新知）如圖1，（1）根據上面多面體模型，完成表格中的空格；

多面體	頂點數（V）	面數（F）	棱數（E）
四面體	4	4
長方體	8	6	12
正八面體		8	12
正十二面體	20	12	30

你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是　 　．

（2）根據以上關系式猜想是否存在一個多面體，它有16個面，50條棱，34個頂點？并寫出理由。

（實際應用）如圖2，足球一般有32塊黑白皮子縫合而成，黑色的是正五邊形，白色的是正六邊形，如

果我們近似把足球看成一個多面體．

（1）設黑色的正五邊形有x塊，則白色的正六邊形有（32﹣x）塊，當把足球看成一個多面體時，它的棱數是 　，它的頂點數是 　．

（2）求出黑皮和白皮各有多少塊？

Answer 1

【答案】【探索新知】（1）6,6，V+F﹣E=2；(2)不存在；

【實際應用】（1）﹣x+96，；﹣x+64，（2）正五邊形有12塊，正六邊形有20塊．

【解析】

探索新知（1）觀察圖形即可得出結論；觀察可得頂點數+面數-棱數=2；
（2）代入（1）中的式子即可驗證.

實際應用（1）直接利用歐拉公式求出答案；

（2）根據題意可知：本題中的等量關系是“黑白皮塊32塊”和因為每塊白皮有3條邊與黑邊連在一起，所以黑皮只有（32-x）塊，而黑皮共有邊數為5x塊，依此借助歐拉公式列方程求解即可．

探索新知（1）觀察表格可以看出：頂點數+面數棱數=2，關系式為：V+FE=2；

多面體	頂點數(V)	面數(F)	棱數(E)
四面體	4	4	6
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

（2）由題意知，V=34，F=16，E=50，不符合關系式：V+FE=2.故沒有這樣的多邊形.

實際應用（1）設正五邊形有x塊，則正六邊形有32x塊，

則F=32,E=5x+= x+96

V=E÷3×2=+64

（2）根據歐拉公式得：V+FE=2，

則x+64+32(x+96)=2，

解得：x=12，32x=20，

所以，正五邊形有/span>12塊，正六邊形有20塊.