Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB經過點O，CD是弦，且CD⊥AB于點F，連接AD，過點B的直線與線段AD的延長線交于點E，且∠E=∠ACF．
（1）若CD=2 ， AF=3，求⊙O的周長；
（2）求證：直線BE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】解：（1）連接OC．設半徑為r，
∵OA⊥CD，
∴DF=FC=，
在RT△OFC中，∵∠OFC=90°，FC=，OF=r﹣3，OC=r，
∴r2=（r﹣3）2+（）2 ，
∴r=4，
∴⊙O的周長為8π．
（2）證明：∵OA⊥CD，
∴DF=FC，AD=AC，∠AFD=90°
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠E=∠ACD，
∴∠ADC=∠E，
∴CD∥EB，
∴∠AFD=∠ABE=90°，
∴BE是⊙O的切線．

【解析】（1）連接OC．設半徑為r，在RT△OFC中利用勾股定理即可解決問題．
（2）只要證明CD∥EB，即可得到∠AFD=∠ABE=90°，由此可以得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．