Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，延長BC至E使BE=BA，過點B作BD⊥AE于點D，BD與AC交于點F，連接EF．

（1）求證：BF=2AD；

（2）若CE=，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2+

【解析】試題分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根據垂直的定義得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，證得△BCF≌△ACE，得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到結論；

（2）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=，在Rt△CEF中，EF==2，由于BD⊥AE，AD=ED，求得AF=FE=2，于是結論即可．

（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，

∵AC⊥BE，BD⊥AE，

∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，

∵∠CFB=∠AFD，

∴∠CBF=∠CAE，

在△BCF與△ACE中，，

∴△BCF≌△ACE，

∴AE=BF，

∵BE=BA，BD⊥AE，

∴AD=ED，即AE=2AD，

∴BF=2AD；

（2）由（1）知△BCF≌△ACE，

∴CF=CE=，

∴在Rt△CEF中，EF==2，

∵BD⊥AE，AD=ED，

∴AF=FE=2，

∴AC=AF+CF=2+．