Question

【題目】如圖,直線y1=kx+2與x軸交于點A(m,0)(m＞4),與y軸交于點B，拋物線y2=ax2﹣4ax+c(a＜0)經過A,B兩點.P為線段AB上一點，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q．

（1）當m=5時，

①求拋物線的關系式；

②設點P的橫坐標為x，用含x的代數式表示PQ的長，并求當x為何值時，PQ=；

（2）若PQ長的最大值為16，試討論關于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的個數與h的取值范圍的關系．

Answer 1

【答案】（1）①y=﹣x2+x+2；②當x=1或x=4時，PQ=；

（2）當h=16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個相等的實數解；

當h＞16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h沒有實數解；

當0＜h＜16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個解．

【解析】試題分析：（1）①有m=5得到A點坐標，再把A點坐標代入直線解析式求出k得到y1=﹣x+2，接著計算自變量為0時對應的函數值可得B點坐標，然后把A點和B點坐標代入y2=ax2﹣4ax+c得到a和c的方程組，再解方程組求出a、c即可得到拋物線解析式；②利用二次函數圖象上點的坐標特征和一次函數圖象上點的坐標特征，設點P的坐標為（x，﹣x+2），Q（x，﹣x2+x+2），則可表示出PQ=﹣x2+2x，然后利用PQ=得到﹣x2+2x=，然后解方程即可；（2）設P（x，kx+2），則Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的長用l表示，則易得l=ax2﹣（4a+k）x，再利用PQ長的最大值為16大致畫出l與x的二次函數圖象，由于一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的情況可看作為二次函數l=ax2﹣4ax﹣kx與直線l=h的交點個數，則利用函數圖象可判斷當h=16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個相等的實數解；當h＞16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h沒有實數解；當0＜h＜16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個解．

試題解析：

（1）①∵m=5，∴點A的坐標為（5，0），

把A（5，0）代入y1=kx+2得5k+2=0，解得k=﹣，∴直線解析式為y1=﹣x+2，

當x=0時，y1=2，∴點B的坐標為（0，2）．

將A（5，0），B（0，2）代入，得，解得，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+x+2；

②設點P的坐標為（x，﹣ x+2），則Q（x，﹣ x2+x+2），

∴PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，而PQ=，

∴﹣x2+2x=，解得：x1=1，x2=4，∴當x=1或x=4時，PQ=；

（2）設P（x，kx+2），則Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的長用l表示，

∴l=ax2﹣4ax+2﹣（kx+2）=ax2﹣（4a+k）x，∵PQ長的最大值為16，如圖，

當h=16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個相等的實數解；

當h＞16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h沒有實數解；

當0＜h＜16時，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有兩個解．