Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE=FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點H，連接DH，下列結論正確的是（　　）

①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤線段DH的最小值是2﹣2

A. ①②⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

首先證明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性質，等高模型、三邊關系一一判斷即可．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°.

∵在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，

∴△ABE≌△DCF，

∴∠ABE=∠DCF.

∵在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，

∴△ADG≌△CDG，

∴∠DAG=∠DCF，

∴∠ABE=∠DAG.

∵∠DAG+∠BAH=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE，故③正確，

同理可證：△AGB≌△CGB.

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正確.

∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD，∠DAG=∠FCD，

∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正確.

取AB的中點O，連接OD、OH.

∵正方形的邊長為4，

∴AO=OH=×4=2，

由勾股定理得，OD=，

由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小，

DH最小=2-2．

無法證明DH平分∠EHG，故②錯誤，

故①③④⑤正確.

故選B.