Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+2x+c的圖象經過點C（0，3），與x軸分別交于點A，點B（3，0）．點P是直線BC上方的拋物線上一動點．

（1）求二次函數y=ax2+2x+c的表達式；

（2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標；

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ACPB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（，）；（3）當點P的坐標為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為.

【解析】

（1）已知二次函數上兩點的坐標，利用待定系數法求解二次函數的解析式。

（2）根據菱形的對角線互相垂直且平分，可得P點的縱坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；

（3）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PQ的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．

解：（1）將點B和點C的坐標代入函數解析式，得

，

解得，

二次函數的解析是為y=﹣x2+2x+3；

（2）若四邊形POP′C為菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上，

如圖1，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E，

∵C（0，3），

∴E（0，），

∴點P的縱坐標，

當y=時，即﹣x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合題意，舍），

∴點P的坐標為（，）；

（3）如圖2，

P在拋物線上，設P（m，﹣m2+2m+3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

將點B和點C的坐標代入函數解析式，得

，

解得．

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設點Q的坐標為（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

AB=3﹣（﹣1）=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+（﹣m2+3m）×3

=﹣（m﹣）2+，

當m=時，四邊形ABPC的面積最大．

當m=時，﹣m2+2m+3=，即P點的坐標為（，）．

當點P的坐標為（，）時，四邊形ACPB的最大面積值為．